纸上谈兵: 最短路径与贪婪

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图是由节点和连接节点的边构成的。节点之间可不可不能否由路径,即边的序列。根据路径,可不可不能否从以后 到达另以后 。在有另另三个小多错综复杂的图中,图中两点可不可不能否处在以后 路径。最短路径讨论了有另另三个小多非常简单的图论這個的问題,图中从A点到B点 ,那条路径耗费最短?

這個這個的问題又异常错综复杂,导致 网络的构成具体情况导致 很错综复杂。

有另另三个小多最简单的思路,是找出所有导致 的从A到B的路径,再通过比较,来寻找最短路径。然而,这并越来越将這個的问題错综复杂几条。导致 搜索从A到B的路径,这有這個所以很错综复杂的事情。而亲戚亲戚当我愿意们在搜索所有路径的过程中,有以后 路径导致 绕了很远,完正越来越搜索的必要。比如从上海到纽约的路线,完正越来越必要先从上海飞到南极,再从南极飞到纽约,尽管這個路径也是三根可行的路径。

所以有,亲戚亲戚当我愿意们时要原本有另另三个小多算法:它可不可不能否搜索路径,并当已知路径包括最短路径时,即停止搜索。亲戚亲戚当我愿意们先以无权网络为例,看有另另三个小多可行的最短路径算法。

无权网络

无权网络(unweighted network)是相对于加权网络的,这里的“权”是权重。每条边的耗费相同,都为1。路径的总耗费即为路径里边的总数。

亲戚亲戚当我愿意们用“甩鞭子”的最好的依据,来寻找最短路径。鞭子的长度代表路径的距离。

手拿有另另三个小多特定长度的鞭子,站在A点。甩出鞭子,能打到以后 点。比如C和D。

将鞭子的长度增加1。再甩出鞭子。此时,从C或D出发,寻找距离为1的邻接点,即E和F。這個点到A点的距离,为此时鞭子的长度。

记录点E和F,并记录它们的上游节点。比如E(C), F(D)。亲戚亲戚当我愿意们同样可不可不能否记录此时该点到A的距离,比如5。

 

导致 要记录节点E时,发现它导致 突然再次出现在原本的记录中,这说明原本有更短的距离到E。此时,不将E装入记录中。毕竟,亲戚亲戚当我愿意们感兴趣的是最短路径。如下图中的E:

黄色的E不被记录

最初的鞭子长度为0,站在A点,越来越打到A点自身。当亲戚亲戚当我愿意们不断增加鞭子长度,第一次可不可不能否打到B时,越来越此时鞭子的长度,所以从A到B的最短距离。循着亲戚亲戚当我愿意们的记录,倒推上游的节点,就可不可不能否找出整个最短路径。

亲戚亲戚当我愿意们的记录本是个很有意思的东西。某个点装入记录时,此时的距离,时会A点到该点的最短路径。根据记录,亲戚亲戚当我愿意们可不可不能否反推出记录中任何以后 的最短路径。这就好像真诚对待每自己。这能保证,当你遇到真爱时,你导致 是在真诚相待了。实际上,记录将所有节点分割成有另另三个小多世界:记录内的,已知最短距离的;记录外的,未知的。

加权网络

加权网络中(weighted network),每条边有本人 的权重。当亲戚亲戚当我愿意们选取某个路径时,总耗费为路径上所有边的权重之和。

加权网络在生活中很常见,比如从北京到上海,可不可不能否坐火车,也可不可不能否坐飞机。但有這個选取耗费的时间无须同。再比如,亲戚亲戚当我愿意们打出租车和坐公交车,都可不可不能否到市区,但车资时会所不同。在计算机网络中,导致 硬件性能不同,连接的传输带宽时会所差异。加权网络正适用于以上场景。无权网络是加权网络的有另另三个小多特例。

這個這個的问題看起来和无权网络颇为类事。但导致 套用里边的最好的依据,亲戚亲戚当我愿意们会发现,记录中的节点无须一定是最短距离。亲戚亲戚当我愿意们看下面的例子:

很明显,最短路径是A->C->D->B,导致 它的总耗费越来越4。按照里边的最好的依据,亲戚亲戚当我愿意们先将A装入记录。从A出发,有B和C有另另三个小多导致 将B和C共同装入记录,越来越记录中的B无须符合最短距离的要求。

越来越,为這個无权网络可行呢?假设某次记录时,鞭子长度为5,越来越这次记录点的邻接点,必然是距离为6的点。导致 這個邻接点越来越突然再次出现过,越来越6所以它们的最短距离。所有第一次突然再次出现的邻接点,都将加入到下次的记录中。比如下面的例子,C/D/E是到达A的邻接点,它们到A的最短距离必然时会1。

对于加权网络来说,即使知道了邻接点,也无法判断它们否是符合最短距离。在记录C/D/E时,亲戚亲戚当我愿意们无法判断未来否是处在如下图虚线的连接,导致 A的邻接点E并时会下一步的最短距离点:

但具体情况并越来越亲戚亲戚当我愿意们想的越来越糟糕。仔细观察,亲戚亲戚当我愿意们发现,都有却说我无法一次判定所有的邻接点为下一步的最短距离点,但亲戚亲戚当我愿意们可不可不能否选取点C导致 处在从A出发的最短距离具体情况。A到C的其它导致 性,比如途径D和E,必然导致 更大的成本。

也所以说,邻接点中,有有另另三个小多达到了最短距离点,即邻接点中,到达A距离最短的点,比如里边的C。亲戚亲戚当我愿意们可不可不能否安全的把C改为已知点。A和C时会已知点,点P成为新的邻接点。P到A得距离为4。

出于里边的观察,亲戚亲戚当我愿意们可不可不能否将节点分为有這個:

  • 已知点:已知到达A最短距离的点。“我是成功人士。”
  • 邻接点:有从记录点出发的边,直接相邻的点。“和成功人士接触,时会成功的导致 哦。”
  • 未知点:“还早得很。”

最初的已知点越来越A。已知点的直接下游节点为邻接点。对于邻接点,亲戚亲戚当我愿意们时要独立的记录它们。亲戚亲戚当我愿意们要记录的有:

  • 当前具体情况下,从A点出发到达该邻接点的最短距离。比如对于里边的点D,为6。
  • 此最短距离下的上游节点。对于里边的点D来说,为A。

每次,亲戚亲戚当我愿意们将邻接点中最短距离最小的点X转为已知点,并将该点的直接下游节点,改为邻接点。亲戚亲戚当我愿意们时要计算从A出发,经由X,到达這個新增邻接点的距离:新距离 = X最短距离 + QX边的权重。此时有有這個具体情况,

  • 导致 下游节点Q还时会邻接点,越来越直接加入,Q最短距离 = 新距离,Q上游节点为X。
  • 导致 下游节点Q导致 是邻接点,记录在册的上游节点为Y,最短距离为y。导致 新距离小于y,越来越最小距离改为新距离,上游节点也改为X。以后 保持原记录不变。

亲戚亲戚当我愿意们还用里边的图,探索A到E的路径:

第一步

  具体情况 已知距离 上游
A 已知 0 A
邻接 1 A
D 邻接
E 邻接
P 未知  无穷  

第二步

  具体情况 已知距离 上游
A 已知 0 A
已知 1 A
D 邻接
E 邻接
P 邻接 4 C

第二步

  具体情况 已知距离 上游
A 已知 0 A
已知 1 A
D 邻接
E 邻接 7 P
P 已知  4 C

第三步

  具体情况 已知距离 上游
A 已知 0 A
已知 1 A
D 已知
E 邻接 7 P
P 已知  4 C

最后,E成为已知。倒退,可不可不能否知道路径为E, P, C, A。正过来,所以从A到E的最短路径了。

里边的算法是经典的Dijkstra算法。本质上,每个邻接点记录的,是基于已知点的具体情况下,最好的选取,也所以所谓的“贪婪算法”(greedy algorithm)。当亲戚亲戚当我愿意们贪婪时,亲戚亲戚当我愿意们的决定是临时的,并越来越做出最终的决定。转换某个点成为已知点后,亲戚亲戚当我愿意们增加了新的导致 性,贪婪再次起作用。根据对比。以后,某个邻接点成为新的“贪无可贪”的点,即经由其它任意邻接点,到达该点都只会造成更高的成本; 经由未知点到达该点更不导致 ,导致 未知点还越来越开放,必然时要经过现有的邻接点到达,只会更加绕远。好吧,该点再也越来越贪婪的动力,就被扔到“成功人士”里,成为已知点。成功学不断传染,最后感染到目标节点B,亲戚亲戚当我愿意们就找到了B的最短路径。

实现

理解了里边的原理,算法的实现是小菜一碟。亲戚亲戚当我愿意们借用图 (graph)中的数据形态,略微修改,构建加权图。

亲戚亲戚当我愿意们将里边的表格做成数组records,用于记录路径探索的信息。

重新给点A,C,D,E,P命名,为0, 1, 2, 3, 4。

代码如下:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5
#define INFINITY 500

typedef struct node *position;
typedef struct record *label;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
    int weight;
};

/* table element, keep record */
struct record {
    int status;
    int distance;
    int previous;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int, int);
void print_graph(position, int);
int new_neighbors(position, label, int, int);
void shortest_path(position, label, int, int, int);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    struct record records[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=0; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
        (graph+i)->weight  = -1;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,0,1,1);
    insert_edge(graph,0,2,6);
    insert_edge(graph,0,3,9);
    insert_edge(graph,1,4,3);
    insert_edge(graph,4,3,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
    
    // initialize the book
    for (i=0; i<NUM_V; i++){
        (records+i)->status   = -1;
        (records+i)->distance = INFINITY;
        (records+i)->previous = -1;
    }
    
    shortest_path(graph, records, NUM_V, 0, 3);
    
    // 
}
void shortest_path(position graph, label records, int nv, int start, int end) {
    int current;
    
    (records+start)->status   = 1;
    (records+start)->distance = 0;
    (records+start)->previous = 0;
    
    current = start;
    while(current != end) {
        current = new_neighbors(graph, records, nv, current);
    }
    
    while(current != start) {
        printf("%d <- ", current);
        current = (records+current)->previous;
    }
    printf("%d\n", current);
}

int new_neighbors(position graph, label records, int nv, int current) {
    int newDist;
    int v;
    int i;
    int d;
    
    position p;
    
    // update the current known
    (records + current)->status = 1;
    
    // UPDATE new neighbors
    p = (graph+current)->next;
    while(p != NULL) {
        v = p->element;
        (records + v)->status = 0;
        newDist = p->weight + (records + current)->distance;
        if ((records + v)->distance > newDist) {
            (records + v)->distance = newDist;
            (records + v)->previous = current;
        }
        p = p->next;
    }
    
    // find the next known
    d = INFINITY;
    for (i=0; i<nv; i++) {
        if ((records + i)->status==0 && (records + i)->distance < d){
            d = (records + i)->distance;
            v = i;
        }
    }
    return v;
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=0; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; w:%d ", i, p->element, p->weight);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 * with weight
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to, int weight)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    nodeAddr->weight  = weight;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果如下:

From   0: 0->3; w:9 0->2; w:6 0->1; w:1 

From   1: 1->4; w:3 

From   2: 

From   3: 

From   4: 4->3; w:3 

3 <- 4 <- 1 <- 0

即从0到1到4到3,也所以从A到C到P到E,是亲戚亲戚当我愿意们的最短路径。

里边的算法中,最坏具体情况是目标节点最后成为已知点,即要寻找[$O(|V|)$]。而每个已知点是通过寻找[$O(|V|)$]个节点的最小值得到的。最后,打印出最短的路径过程中,时要倒退,最多导致 有[$O|E|$],也所以说,算法错综复杂度为[$O(|V|^2 + |E|)$]。

里边的records为有另另三个小多数组,用于记录路径探索信息。亲戚亲戚当我愿意们可不可不能否用有另另三个小多优先队列来代替它,将已知的节点移除优先队列。原本可不可不能否达到更好的运算带宽。

练习: 自行设计有另另三个小多加权网络,寻找最短路径。

总结

最短路径是寻找最优解的算法。在错综复杂的网络中,简单的实现最好的依据无法运行,时要求有助精心设计的算法,比如这里的Dijkstra算法。利用贪婪的思想,亲戚亲戚当我愿意们不断的优化结果,直到找到最优解。

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